Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 3 \\ - 2 & 5 \end{array}]$

Etapa 1

Multiplying any matrix by an identity matrix is the matrix itself.

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Etapa 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Etapa 1.2

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 1 + 0 \cdot - 2 & 1 \cdot 3 + 0 \cdot 5 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot - 2 & 0 \cdot 3 + 1 \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 1.3

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ - 2 & 5 \end{array}]$

Etapa 2

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Etapa 3

Find the determinant.

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Etapa 3.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 5 - (- 2 \cdot 3)$

Etapa 3.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 - (- 2 \cdot 3)$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $- (- 2 \cdot 3)$ .

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Etapa 3.2.1.2.1

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$5 - - 6$

Etapa 3.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$5 + 6$

Etapa 3.2.2

Some $5$ e $6$ .

$11$

Etapa 4

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Etapa 5

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{11} [\begin{array}{c} 5 & - 3 \\ 2 & 1 \end{array}]$

Etapa 6

Multiplique $\frac{1}{11}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} \cdot 5 & \frac{1}{11} \cdot - 3 \\ \frac{1}{11} \cdot 2 & \frac{1}{11} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 7

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{11}$ e $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{11} & \frac{1}{11} \cdot - 3 \\ \frac{1}{11} \cdot 2 & \frac{1}{11} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{11}$ e $- 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{11} & \frac{- 3}{11} \\ \frac{1}{11} \cdot 2 & \frac{1}{11} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{11} & - \frac{3}{11} \\ \frac{1}{11} \cdot 2 & \frac{1}{11} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 7.4

Combine $\frac{1}{11}$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{11} & - \frac{3}{11} \\ \frac{2}{11} & \frac{1}{11} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 7.5

Multiplique $\frac{1}{11}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{11} & - \frac{3}{11} \\ \frac{2}{11} & \frac{1}{11} \end{array}]$